L’addition
est la première opération enseignée aux enfants. Elle est aussi supposée la plus
simple. Or cette apparente simplicité cache une réelle complexité quant au sens
donnée à cette opération
On
sait déjà qu’en mathématique, l’addition :
- n’est définie que sur un ensemble
d’objets de même nature
- que le calcul se fait sur des
nombres et que le résultat de cette opération est une somme.
Mais
ceci étant défini, il reste à distinguer les types de situations dans lesquelles
l’addition est nécessaire. C’est le sujet de cet article.
Gérard
Vergnaud distingue quatre situations additives,
c’est à dire quatre activités dans lesquelles la question posée se résoud par
la somme ou la différence des nombres présents. dans cet article, nous ne nous
intéresserons qu’à la somme.
Quelles
sont les situations qui font appel à l’addition?
Voici
quatre problèmes dont la solution est une somme.
Ces
exemples supposent le traitement de situations additives. mais la maîtrise de
la technique de l’opération n’est nullement requise.
I- Lucie a 10 livres, son frère Maxime en a 15.
-
Combien en ont-ils à deux?
II- Dominique a 10 litres d’essence dans son réservoir.
Elle en rajoute 25 litres.
-
Combien en a-t-elle maintenant?
III- Pauline possède 150 francs dans son porte monnaie.
Amandine en a 50 de plus.
IV- Thomas a grandi de 15 cm soit 7 cm de moins
que Hugo.
-
De combien Hugo a-t-il grandi?
Au
premier abord rien ne différencie vraiment ces quatre problèmes, la solution s’obtient
pour chacun d’eux en recherchant la somme des nombres donnés dans l’énoncé. Et
pourtant il s’agit de quatre réalités différentes.
• Dans le premier problème, il s’agit de regrouper deux quantités. Il
y a composition.
• dans le deuxième, il s’agit de modifier une quantité, Il y a transformation.
• dans le troisième, il s’agit de comparer deux quantités. Il y a comparaison.
• enfin dans le dernier, il s’agit de regrouper deux transformations.
Il y a combinaison de transformations.
Les
représentations de ces problèmes, elles mêmes, sont différentes selon les situations.
La présentation qui suit regroupe les quatre situations, leur définition et des
représentations possibles pour chacune d’elles.
Représentations
des situations utilisant l’addition
Haut
Situation de composition : deux quantités existantes
sont regroupées pour donner une nouvelle quantité. L'état final (EF) est la composition
des deux états initiaux(EI).
Représentation
Il y a des compositions
dans les problèmes suivants :
1-1
Caroline a 14 billes dans sa poche et 9 dans sa main.
Combien
en a-t-elle en tout?
1-2/
Cette année, il y a 8 jours de vacances à Toussaint, 15 jours à Noël, 8 jours
en février, et 15 jours à Pâques.
Combien
cela fait-il de jours de vacances ?
1-3
Aujourd’hui à la cantine, il y a, à ma
table, 6 garçons et 5 filles.
Combien
y a-t-il d’enfants à ma table ?
Situation de transformation : à partir d'un état, une quantité
évolue vers une autre quantité. L'état final (EF) est la transformation de l'état
initial (EI) par une quantité (Q) donnée.
Représentation
Il y a des transformations dans
les problèmes suivants :
2-1
Martin gagne 9 billes. Il en avait 14.
Combien
en a-t-il maintenant ?
2-2
Dans le car de ramassage scolaire, il y a déjà 5 élèves. Au premier arrêt, 3 élèves
montent. Au deuxième arrêt, 7 élèves montent. Au dernier arrêt, 9 élèves montent.
Combien
d’élèves vont descendre de ce car à l’école ?
2-3
La semaine dernière nous avions mesuré la tige de la tulipe. Elle mesurait 7 cm.
Si je te dis que cette semaine elle a grandi de 12 cm
Peux-tu
me dire quelle est sa taille maintenant ?
Haut
Situation de comparaison : on étudie l’écart, l'intervalle,
entre deux états (E). Il n'y a pas de changement d'état, l’écart (é) n'étant qu'une
valeur hypothétique.
Représentation
Il
y a des comparaisons dans les problèmes suivants :
3-1
Dominique a 14 billes dans une boîte. C'est à dire 9 de moins que dans l'autre
boîte
Combien
en a-t-elle dans cette autre boîte?
3-2
Au marché, le prix ne sont pas les mêmes
que chez l’épicier. Complète le tableau
3-3
François a 27 Francs. Il a 12 francs de plus que Nicolas.
Combien
d’argent a Nicolas ?
Situation de combinaison
de transformations : ni
l'état initial, ni l'état final ne sont connus. Le calcul porte sur une transformation
qui est elle même la combinaison (C) de deux autres transformations (T).
Représentation
Il y a des combinaisons
de transformations dans les problèmes suivants :
4-1
Aurélien a gagné 9 billes de plus que Grégory. Grégory en avait gagné 14.
Combien
Aurélien en a-t-il gagné?
4-2
Dans son jardin Papa a rajouté 10 rosiers. Notre voisin en a rajouté
7.
Combien
en ont-ils rajoutés à eux deux ?
4-3
Après les soldes, les prix des fournitures scolaires ont augmenté.
Un
cahier coûte 1 franc de plus que pendant les soldes.
Un
stylo encre coûte 2 francs de plus.
Un
classeur coûte 5 francs de plus.
De
combien la note aura-t-elle augmentée si je m’achète un cahier, deux stylos et
un classeur après les soldes?
Les nombreux exemples
qui accompagnent ces définitions ont pour but de mettre en évidence qu’en dehors
de l’opération utilisée, les situations additives ont parfois peu de points communs
entre elles.
Il
est donc important de tenir compte de cette caractéristique lorsqu’on aborde les
résolutions de problèmes mettant en jeu des situations additives pour éviter d’enfermer les élèves dans une procédure de
résolution stéréotypée.
Que
faire de cela dans la classe?
Il
ne s’agit en aucun cas de “faire apprendre” aux enfants les différentes définitions
données ci-dessus, ni même d’utiliser en classe les termes proposés qui sont trop
complexes pour des élèves du cycle 2.
• Il est par contre utile que les enseignants les maîtrisent pour eux-mêmes afin d’être
attentifs à proposer aux élèves des problèmes de même nature lors des apprentissages
et des évaluations.
• Il est aussi utile de proposer aux élèves des problèmes
tirés des quatre situations additives pour les aider à maîtriser le sens de l’addition
quelles que soient les circonstances.
• Enfin il serait intéressant d’aider les élèves à
prendre conscience de ces différentes
situations additives pour qu’ils appréhendent mieux le sens de cette opération.
Ainsi il est souhaitable, dès le CE1, de proposer aux élèves
des activités de “tri de problèmes” où ils seront invités à ranger les problèmes
selon “qu’on réunit des éléments”, “qu’on les compare”, “qu’on transforme quelque
chose” …
• Par ailleurs, comme nous le notions au début de
cet article, la soustraction est une opération que l’on utilise dans ces mêmes
situations additives et qui peut faire l’objet du même traitement.
• Les difficultés que les élèves
rencontrent pour résoudre des problèmes résident quelquefois dans le fait qu’ils
ne parviennent pas à reconnaître les caractéristiques des problèmes auxquels ils
sont confrontés. Un travail, tel que celui qui est présenté dans cet article,
leur permettant d’apprendre à identifier des problèmes différents faisant tous
appel au calcul d’une addition ne peut que contribuer à réduire ces difficultés.
Cependant,
il est utile de noter que cet aspect ne constitue que l’une des variables de complexité
d’un problème. L’énoncé lui même, les nombres (plus ou moins grands), le vocabulaire
utilisé, la proximité avec le sujet,… sont autant de variables qui peuvent simplifier
ou complexifier la situation. Variables qu’il est nécessaire de prendre en compte
lors de la résolution de problèmes.
Classification proposée par Gérard VERGNAUD, cité dans “Apprentissages numériques
et résolution de problèmes, Cours préparatoire” ERMEL, Hatier, Paris, 1991, page
119.
